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谈概率问题中的图解法

作者 :高 鹰更新时间:2012-11-6

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“概率论与数理统计”是高等工科院校工程数学的主干课程之一,也是报考硕士研究生时数学试卷中重要内容之一,而概率论又是数理统计的基础, 因此学好概率论显得十分重要。然而由于随机现象的不确定性,常常使人感到把握不定,从而给学习带来了困难,因此在教学中教师除了要着重讲清基本概念、原理和计算方法外,还要善于创设形象的数学情景,结合具体图形使概率问题变得生动形象,清晰直观。从而使学更好地掌握和理解问题,同时使学生的抽象思维能力得到进一步的提高。
 一、 文氏图法(韦恩图法)
 把事件的交、并、余用几何图形予以表示称为“文氏图”。如下图所示:
 从上图可较直观地理解事件间的关系和运算,特别是在事件关系比较复杂时要善于利用文氏图予以剖析, 往往会给出我们的解题的思路.例如我校采用的由江西高校出版社出版的《概率与数理统计》一书中的页第20题:已知三个事件A、B、C满足条件:
证明:
不少的学生拿到该题后感到无从着手,其原因就是,只从字面上冥思苦想,所以很难证明出结果,若采用文氏图,则简便快捷。根据题意绘制文氏图如下。
即:,则有:
该图满足题目所给的条件:1、; 2、
证明: ( 如图 所示)
    (分配侓)
而( 如图 所示)
即:
     又
     根据题目的已知条件及概率的性质有:


   =.
    很多概率问题从字面上理解往往很累如(),但从文氏图上看却显得十分自然(如上图5)。因此在做题时要多用文氏图帮助找到正确的解题途径。    
   注:在绘制文氏图时一定要满足题目所给的条件,这样才能借助文氏图来解题。
 二﹑几何图形法
 在概率论的解题过成中我们经常会遇到试验的样本空间含有无限多个样本点(基本事件),且每个基本事件出现的可能性相等的几何概型.这一类题目往往一开始令人无从着手,按照几何概型概率的定义:随机事件A的概率等于A的几何度量与的几何度量的比.因此关键在于把问题中有关事件转化为几何图形,即将样本空间,随机事件A在一维,或二维,或三维空间中表示出,就可求出相应部分的度量,最后求出P(A).
* 例如:随机的向半圆内掷一点,点落在半圆任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与轴的夹角小于的概率为_. (91年的考研题数学一)
解:〖这是等可能概型中的几何概型, 绘图如下,我们用面积之比〗
则所求概率为:
 三、概率树法
 概率树法以方块、圆圈为结点,三角形为结果点,用直线把它们连接起来,构成形似树状的结构,并在结点上标有事件的状态,各线段上标有相应的概率的图形.其方法是“分线相加,连线相乘”.它便于理清事件间的关系,是分析随机现象的有效方法.
例如: 有外形相同的球,分别装在甲﹑乙两盒中,其中甲盒中有5只红球, 3只白球,2只黑球,乙盒中有3只红球, 2只白球, 3只黑球.现从甲盒中任取1球放入乙盒后搅匀,再从乙盒中任取1球放入甲盒,求从甲盒中任取3球全是红球的概率
分析:这是一个摸球模型,由于情况较复杂,我们先作两项准备工作:(1)用字母表示各事件,化繁为简,简单明了;(2)画出概率树,便于理清关系,以便"分线相加,连线相乘”.
记事件为: G={从甲盒中任取3球为红球}
A={从甲盒中任取1球为红球}; D={从乙中任取1球为红球};
B={从甲盒中任取1球为白球}; E={从乙中任取1球为白球};
C={从甲盒中任取1球为黑球}; F={从乙中任取1球为黑球};
根据上图及全概率公式,所求概率:
=0.0835
 该题是一个较复杂的全概率公式求解问题,如果不画概率树很明显求解困难.其实概率树法对于许多有实际意义的,基本事件个数为有限的古典概型问题一般都适用.因此要养成画概率树和遇题多分析、用字母表示事件的习惯,可使思路清晰,避免出错.
从以上的几个问题的解答我们可看出, 大量概率问题潜在着图形背景,借助形的直观性解题是寻求解题思路的一种重要方法。有时画一个图形给问题的几何直观描述,它可以再现问题所述内容的形象本质,使抽象问题形象化,从而有利于培养学生抽象思维的形象性. 职称论文发表网http://www.issncn.com 职称论文发表网http://www.issncn.com

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