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教学心得——整体思想和换元思想

作者 :吴仁学更新时间:2012-11-12

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          学习了整式乘法及因式分解以后,笔者发现,部分同学解决简单问题时可能觉得比较简单,但在解决比较复杂的问题时可能就无从下手,这不仅反映了学生基础知识不是很熟练,更说明了学生缺乏整体思想和结构思想,没有进行针对性的训练,下面谈谈自己的认识:
1、公式结构的把握和领会上存在问题,对于公式的结构没有进行深入的理解。比如平方差公式应是两数的平方差等于这两数的和乘以这两数的差,即a2-b2=(a+b)(a-b),公式中的a和b可以是一个数、一个单项式或一个多项式 ;完全平方公式应是两数的平方和加上(或减去)这两数积的两倍,等于这两数和(或差)的平方,即a ±2ab+b =(a±b) ,公式中的a和b都可以是一个数、一个单项式或一个多项式,只要符合平方差公式或完全平方公式的结构就能运用它们进行因式分解,但应先找出公式中的a和b,如果是完全平方公式还要分清到底是完全平方和还是完全平方差。比如已知x2-4xy+5y2+2y+1=0,求xy 的值,看题以后应想到可能运用两次完全平方公式,通过拆项重新组合以后,可得到(x2 –4xy+4y2 )+(y2 +2y+1)=0,配方得(x-2y)2 +(y+1)2 =0,可得y=–1,x=-2,问题可解决 。
2、没有从整体上把握和领会一个问题,不少学生在解决问题时只是从问题的一个方面来观察和分析,而缺乏整体的把握,这导致问题无法进行下去。如已知x=2时,y=ax5 +bx3 +cx+10 =5,求x=-2时,y的值。不少学生看到三个未知数便觉得此题无法解决,其实是没有从整体上来思考这个问题:当x=2时,y=25a+23b+2c+10=5,所以25 a+23 b+2c=-5,当x=﹣2时,y= -(25 a+23 b+2c)+10=5+10=15,问题便可解决,其关键是将25 a+23 b+2c看作一个整体,本题没有必要求出a、b、c.在解决很多问题时,整体思想特别重要,它能让你的思维离开问题的表面而进入问题的实质,如一个六位数 乘以3变成 ,求a、b、c、d、e的值。本题若想直接求出a、b、c、d、e将十分困难或无法下手,注意到 作为一个整体出现在问题中,若设 =x(x为一个六位数),则列方程可简单解决:(100000+x)×3=10x+1,则得x=42857,可知a=4,b=2,c=8,d=5,e=7,可见从整体上把握问题的重要性。
3、进行一定量的基本训练和专项训练对于培养学生的整体思想和结构思想是十分重要的。学生只有牢固的掌握公式并能熟练的运用公式解决基本问题以后,才有可能建立整体思想和结构思想,但要真正形成整体思想和结构思想必须进行相应的训练,让学生体会如何从整体和结构上把握问题、如何运用这些思想来解决问题,这对于培养学生解决问题的能力是非常重要的。如已知a+b=3,ab=1,求 +a2 b+ab2的值。对整体结构a+b,a×b的把握十分重要,如果问题中只含有a+b﹑ab就可以解决,因此朝这个方向变形即可,这种思想在二次根式化简求值、一元二次方程根与系数关系计算中非常重要,整体的理解、把握问题在解题中的作用十分明显。如求 的值,本题似乎无法理解,但若想到设x= 以后,列方程得x= 问题自然不难解决。这个解法从整体上把握了有限与无限的关系,因而解法独特,化无限为有限,化复杂为简单。
有时一个问题若从整体上把握太复杂,则可以先换元使问题结构变简单一些,从而有利于问题的解决。如在解决 时,设a=99,则问题可化简为 = = =(a ,则结果为99 +3×99+1=99×102+1=1099,在做比较复杂的因式分解时,换元的作用有时比较大。



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